複素数平面上の異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ が与えられた条件(A), (B), (C)を満たすとき、以下の問いに答える問題です。 (A) $\arg \frac{z_3}{z_1} - \arg \frac{z_2}{z_1} = \frac{\pi}{3}$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して $z_0$ と対称である。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形である。 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = p z_3 + q z_1$, $\alpha z_2 = r z_3 + s z_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_3|$ を用いて表しなさい。 (2) $z_3 = a z_1 + b z_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ が与えられた条件(A), (B), (C)を満たすとき、以下の問いに答える問題です。

(A) $\arg \frac{z_3}{z_1} - \arg \frac{z_2}{z_1} = \frac{\pi}{3}$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して $z_0$ と対称である。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形である。

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = p z_3 + q z_1$, $\alpha z_2 = r z_3 + s z_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_3|$ を用いて表しなさい。

(2) $z_3 = a z_1 + b z_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

(1)

$\arg \frac{z_1}{z_3} = \frac{2\pi}{3}$ より、

$z_1 = k z_3 (\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$ $(k > 0)$

$z_1 = k z_3 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$

$\alpha = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ とおくと、

$\alpha z_1 = p z_3 + q z_1$ に代入して、

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) k z_3 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = p z_3 + q k z_3 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$

$k z_3 (-1) = z_3 (-\frac{1}{2} p + q) + \frac{\sqrt{3}}{2} q i$

よって、$-\frac{1}{2} p k + q = -k$ かつ $p k \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$k > 0$ より、$p = 0$ かつ $q = -k$

$\alpha z_2 = r z_3 + s z_2$ より、

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) z_2 = r \{k z_3 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)\} + s z_2$

$= z_2 \{r k (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) + s\}$

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i = r k (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) + s$

$-\frac{1}{2} r k + s = \frac{1}{2}$ かつ $r k \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r k = 1$ より、$r = \frac{1}{k} = \frac{|z_3|}{|z_1|}$

$s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} rk = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

(2) 問題文が不鮮明なため、省略します。

3. 最終的な答え

(1) $p = 0$, $q = -k$, $r = \frac{1}{k} = \frac{|z_3|}{|z_1|}$, $s = 1$