複素数平面上に原点Oと異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ があり、以下の条件(A), (B), (C)を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3} \pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して点Oと反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形 このとき、$z_3 = a z_1 + b z_2$ となる実数 $a$, $b$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

複素数平面上に原点Oと異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ があり、以下の条件(A), (B), (C)を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3} \pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して点Oと反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

このとき、$z_3 = a z_1 + b z_2$ となる実数 $a$, $b$ をそれぞれ $|z_1|$, $|z_2|$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

まず条件(A)から、$z_1$ と $z_2$ の偏角の関係がわかります。

条件(C)から、正三角形の頂点の位置関係がわかります。

条件(B)は、$z_3$が直線 $z_1, z_2$ 上にあり、かつ原点Oに関して反対側にあることを意味します。

$z_3 = a z_1 + b z_2$ であり、$a$ と $b$ は実数なので、$z_3$ は直線 $z_1, z_2$ 上にあることがわかります。また、条件(B)から、$a$ と $b$ は異符号であることが予想できます。

$\triangle z_1 z_2 z_3$ が正三角形であることから、複素数の回転を利用することを考えます。

$z_1, z_2, z_3$ が正三角形をなすとき、以下の関係が成り立ちます。

$z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ または $z_1 + \omega^2 z_2 + \omega z_3 = 0$

ここで $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ は1の虚立方根です。

与えられた式 $z_3 = a z_1 + b z_2$ を上の式に代入します。

$z_1 + \omega z_2 + \omega^2 (a z_1 + b z_2) = 0$

$(1 + a \omega^2) z_1 + (\omega + b \omega^2) z_2 = 0$

または

$z_1 + \omega^2 z_2 + \omega (a z_1 + b z_2) = 0$

$(1 + a \omega) z_1 + (\omega^2 + b \omega) z_2 = 0$

$z_1$ と $z_2$ は線形独立なので、それぞれの係数は0でなければなりません。

$1 + a \omega^2 = 0$ かつ $\omega + b \omega^2 = 0$ または $1 + a \omega = 0$ かつ $\omega^2 + b \omega = 0$

$a = -\frac{1}{\omega^2} = -\omega = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ かつ $b = -\frac{\omega}{\omega^2} = -\frac{1}{\omega} = -\omega^2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

または

$a = -\frac{1}{\omega} = -\omega^2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ かつ $b = -\frac{\omega^2}{\omega} = -\omega = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

$a$と$b$は実数であるという条件に反するので、正三角形の条件は別の式で表される必要があります。

$z_2 - z_1 = (z_3 - z_1)e^{\pm i \pi / 3}$ または $z_1 - z_2 = (z_3 - z_2)e^{\pm i \pi / 3}$

$z_2 - z_1 = (a z_1 + b z_2 - z_1) e^{\pm i \pi / 3} = ((a-1) z_1 + b z_2) e^{\pm i \pi / 3}$

$(z_2 - z_1) e^{\mp i \pi / 3} = (a-1) z_1 + b z_2$

$e^{\mp i \pi / 3} = \frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{3}}{2} i$

ここで、条件(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3} \pi$ を考慮します。

$z_1 = r_1 e^{i \theta_1}$, $z_2 = r_2 e^{i \theta_2}$ とすると、$\theta_1 = \theta_2 + \frac{2}{3} \pi$

この関係を考えると、幾何的に考察する必要があります。

$a = \frac{|z_1|}{|z_1| + |z_2|} \cos \frac{\pi}{6}$

$b = \frac{|z_2|}{|z_1| + |z_2|} \cos \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{|z_1|}{\sqrt{|z_1|^2 + |z_1||z_2| + |z_2|^2}}$

$b = \frac{|z_2|}{\sqrt{|z_1|^2 + |z_1||z_2| + |z_2|^2}}$