問題1は、関数 $f(x) = x^2 + x$ と $g(x) = \sqrt{x}$ について、$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ と $g'(1)$ を定義式に基づいて求める問題です。 問題2は、以下の関数の導関数を求める問題です。 (1) $(x^2+5)^{12}$ (2) $\cos \sqrt{x^2+1}$ (3) $5^{3x+2}$ (4) $\log \frac{x+1}{x-1}$ (5) $\log(\log(\log x))$

1. 問題の内容

問題1は、関数 $f(x) = x^2 + x$ と $g(x) = \sqrt{x}$ について、$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ と $g'(1)$ を定義式に基づいて求める問題です。

問題2は、以下の関数の導関数を求める問題です。

(1) $(x^2+5)^{12}$

(2) $\cos \sqrt{x^2+1}$

(3) $5^{3x+2}$

(4) $\log \frac{x+1}{x-1}$

(5) $\log(\log(\log x))$

2. 解き方の手順

問題1:

微分係数の定義式: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

(1) $f(x) = x^2 + x$ について、$f'(1)$ を求めます。

$f(1) = 1^2 + 1 = 2$

$f(1+h) = (1+h)^2 + (1+h) = 1 + 2h + h^2 + 1 + h = 2 + 3h + h^2$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + 3h + h^2) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (3 + h) = 3$

(2) $g(x) = \sqrt{x}$ について、$g'(1)$ を求めます。

$g(1) = \sqrt{1} = 1$

$g(1+h) = \sqrt{1+h}$

$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{1+h} - 1)(\sqrt{1+h} + 1)}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) - 1}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+h} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2}$

問題2:

(1) $y = (x^2 + 5)^{12}$ の導関数を求めます。合成関数の微分法を使います。

$y' = 12(x^2 + 5)^{11} \cdot (2x) = 24x(x^2 + 5)^{11}$

(2) $y = \cos \sqrt{x^2+1}$ の導関数を求めます。合成関数の微分法を使います。

$y' = -\sin \sqrt{x^2+1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = -\frac{x \sin \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$

(3) $y = 5^{3x+2}$ の導関数を求めます。

$y' = 5^{3x+2} \cdot \ln 5 \cdot 3 = 3 \ln 5 \cdot 5^{3x+2}$

(4) $y = \log \frac{x+1}{x-1}$ の導関数を求めます。

$y = \log(x+1) - \log(x-1)$

$y' = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{-2}{x^2 - 1}$

(5) $y = \log(\log(\log x))$ の導関数を求めます。

$y' = \frac{1}{\log(\log x)} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x \log(\log x)}$

3. 最終的な答え

問題1:

$f'(1) = 3$

$g'(1) = \frac{1}{2}$

問題2:

(1) $24x(x^2 + 5)^{11}$

(2) $-\frac{x \sin \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$

(3) $3 \ln 5 \cdot 5^{3x+2}$

(4) $\frac{-2}{x^2 - 1}$

(5) $\frac{1}{x \log x \log(\log x)}$