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1. 問題の内容
2つの円O, O'があり、それぞれの半径は5と3です。OとO'の距離は10です。直線は2つの円の共通接線であり、AとBはそれぞれ円OとO'の接点です。このとき線分ABの長さを求めます。
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2. 解き方の手順
1. Oから直線O'Bに垂線を下ろし、その交点をCとします。すると、四角形ABCO'は長方形となるので、$AB = O'C$です。
2. 三角形OO'Cは直角三角形になります。なぜなら、$\angle OCO' = 90^{\circ}$だからです。
3. O'Cの長さを求めるために、三平方の定理を利用します。まず、OCの長さを求めます。OC = OA - CA = OA - O'B = 5 - 3 = 2です。
4. 次に、三角形OO'Cについて、三平方の定理より、$OO'^2 = OC^2 + O'C^2$ が成り立ちます。
5. $OO' = 10, OC = 2$を代入すると、$10^2 = 2^2 + O'C^2$ となります。
6. これを解くと、$O'C^2 = 100 - 4 = 96$なので、$O'C = \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$となります。
7. よって、$AB = O'C = 4\sqrt{6}$ です。
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3. 最終的な答え
線分ABの長さは、です。