与えられた3つの関数について、対数微分法を用いて導関数を求める問題です。 (1) $y = x^{\cos x}$ (2) $y = (\log x)^{1/x}$ (3) $y = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2-3)}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、対数微分法を用いて導関数を求める問題です。

(1) $y = x^{\cos x}$

(2) $y = (\log x)^{1/x}$

(3) $y = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2-3)}$

2. 解き方の手順

対数微分法は、$y = f(x)$ の両辺の対数をとり、微分することで導関数を求める方法です。

(1) $y = x^{\cos x}$ の場合：

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log (x^{\cos x}) = \cos x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \log x + \cos x \cdot \frac{1}{x} = -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right) = x^{\cos x} \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

(2) $y = (\log x)^{1/x}$ の場合：

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log ((\log x)^{1/x}) = \frac{1}{x} \log(\log x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log(\log x) + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\log(\log x)}{x^2} + \frac{1}{x^2 \log x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\frac{\log(\log x)}{x^2} + \frac{1}{x^2 \log x} \right) = (\log x)^{1/x} \left( \frac{1 - \log(\log x)}{x^2 \log x} \right)$

(3) $y = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2-3)}$ の場合：

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log \left( \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2-3)} \right) = \log(x+1) + \log(x^2+1) - \log(x+2) - \log(x^2-3)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{x^2-3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{x^2-3} \right) = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2-3)} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{x^2-3} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{\cos x} \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^{1/x} \left( \frac{1 - \log(\log x)}{x^2 \log x} \right)$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x+2)(x^2-3)} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{x^2-3} \right)$