問題は二つあります。 (1) 円の中に交わる二つの弦があり、弦によって分割された線分の長さがそれぞれ8, 9, 16, xと与えられています。このとき、$x$の値を求めます。 (2) 円外の一点Pから円に接線PTと割線を引きます。割線は円と二点て交わり、それぞれの線分の長さが3, 5, xと与えられています。このとき、$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

(1) 円の中に交わる二つの弦があり、弦によって分割された線分の長さがそれぞれ8, 9, 16, xと与えられています。このとき、$x$の値を求めます。

(2) 円外の一点Pから円に接線PTと割線を引きます。割線は円と二点て交わり、それぞれの線分の長さが3, 5, xと与えられています。このとき、$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の内部で交わる二つの弦に関する性質を利用します。二つの弦ABとCDが点Eで交わるとき、$AE \times EB = CE \times ED$が成り立ちます。この問題では、

$8 \times 9 = 16 \times x$

これを解いて$x$を求めます。

(2) 円外の一点から引いた接線と割線の関係を利用します。円外の点Pから円に接線PTと割線PAを引きます。割線は円と二点A, Bで交わる時、$PT^2 = PA \times PB$が成り立ちます。この問題では、$PT = x$, $PA = 3$, $AB = 5$, $PB = PA + AB = 3+5 = 8$となります。よって、

$x^2 = 3 \times 8$

これを解いて$x$を求めます。

3. 最終的な答え

(1) $8 \times 9 = 16 \times x$

$72 = 16x$

$x = \frac{72}{16} = \frac{9}{2}$

よって、$x = \frac{9}{2} = 4.5$

(2) $x^2 = 3 \times 8$

$x^2 = 24$

$x = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

よって、$x = 2\sqrt{6}$