問題は、三角形 ABC の外心が点 O であるとき、与えられた図における角度 $\alpha$ と $\beta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、三角形 ABC の外心が点 O であるとき、与えられた図における角度 $\alpha$ と $\beta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 図 1 の場合：

* 点 O は三角形 ABC の外心なので、OA = OB = OC が成り立ちます。

* 三角形 OAB は二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA$ です。同様に、三角形 OAC は二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA$ です。

* $\angle BAC = 50^\circ$ なので、$\angle OAB + \angle OAC = 50^\circ$ です。

* 三角形 ABC の内角の和は $180^\circ$ なので、$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$ です。

* $\angle ABC = \angle OBA + \alpha$ 、$\angle ACB = \angle OCA + \beta$ です。

* 点Oは外心なので、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 50^\circ = 100^\circ$ です。

* 三角形 BOC において、OB = OC なので、$\angle OBC = \angle OCB$ です。よって、$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 100^\circ) / 2 = 40^\circ$ です。

* したがって、$\alpha = \beta = 40^\circ$ です。

(2) 図 2 の場合：

* 点 O は三角形 ABC の外心なので、OA = OB = OC が成り立ちます。

* 三角形 OAB は二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA = 25^\circ$ です。同様に、三角形 OAC は二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA = 35^\circ$ です。

* $\alpha$ は $\angle BOC$ です。$\angle BOC = 2 \angle BAC$ が成り立ちます。

* $\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 25^\circ + 35^\circ = 60^\circ$ です。

* $\alpha = \angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$ です。

* 三角形 OBC は二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = \beta$ です。

* $\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$ なので、$2 \beta + 120^\circ = 180^\circ$ となります。

* $2 \beta = 60^\circ$ より、$\beta = 30^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 40^\circ$、$\beta = 40^\circ$

(2) $\alpha = 120^\circ$、$\beta = 30^\circ$