$x \to 0$ のとき、以下の式を満たす空欄を埋める問題です。 (1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \square + o(x)$ (2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \square + o(x^6)$ (3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \square + o(1)$

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、以下の式を満たす空欄を埋める問題です。

(1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \square + o(x)$

(2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \square + o(x^6)$

(3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \square + o(1)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{x - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots)}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \frac{x^7}{5040} - \dots}{x^3} = \frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + \frac{x^4}{5040} - \dots$

したがって、$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x)$ となります。

(2) $\log(1+x)$ のマクローリン展開を利用します。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\log \frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots) = 2(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots)$

したがって、$\log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + o(x^6)$ となります。 $2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5}$

(3) $(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \log(1+x)}$ を利用します。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)$

$\frac{1}{x}\log(1+x) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + o(x^3)$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + o(x^3)} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + o(x^3)} = e (1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4}) + \frac{1}{2} (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3})^2 + \frac{1}{6} (-\frac{x}{2})^3 + o(x^3)) = e(1-\frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} + o(x^2))$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e - \frac{e}{2} x + \frac{11e}{24}x^2 + o(x^2)$

$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + \frac{11e}{24}x + o(x)$

したがって、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + o(1)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5}$

(3) $-\frac{e}{2}$