与えられた3つの極限値を求める問題です。 1. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{\cos 3x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{\cos 3x}$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$

3. $\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3$

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{\cos 3x}$

$x$ が $0$ に近づくとき、$\cos 2x$ は $\cos 0 = 1$ に近づき、$\cos 3x$ も $\cos 0 = 1$ に近づきます。したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{\cos 3x} = \frac{1}{1} = 1$$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$

これは不定形 $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を使います。

1回微分すると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^2$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}$$

別解として、テイラー展開を利用します。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ...$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ... - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ...}{x^3} = \frac{1}{3}$$

3. $\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3$

これは $0 \cdot (-\infty)$ の形なので、変形してロピタルの定理を使えるようにします。

$$\lim_{x \to +0} x^2 (\log x)^3 = \lim_{x \to +0} \frac{(\log x)^3}{x^{-2}}$$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を使います。

1回微分すると、

$$\lim_{x \to +0} \frac{3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}}{-2x^{-3}} = \lim_{x \to +0} \frac{3(\log x)^2}{-2x^{-2}} = \lim_{x \to +0} \frac{3(\log x)^2}{-\frac{2}{x^2}}$$

これも $\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理をもう一度使います。

$$\lim_{x \to +0} \frac{6(\log x) \cdot \frac{1}{x}}{\frac{4}{x^3}} = \lim_{x \to +0} \frac{6\log x}{\frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{6\log x}{4x^{-2}} = \lim_{x \to +0} \frac{3\log x}{2x^{-2}}$$

これも $\frac{-\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理をもう一度使います。

$$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{3}{x}}{-4x^{-3}} = \lim_{x \to +0} \frac{3}{-4x^{-2}} = \lim_{x \to +0} -\frac{3}{4}x^2 = 0$$

3. 最終的な答え

1. 1

2. 1/3

3. 2