$\cos^{-1}(\cos\frac{7}{6}\pi) = \frac{A}{6}\pi$ を満たす $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos^{-1}(\cos\frac{7}{6}\pi) = \frac{A}{6}\pi$ を満たす $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^{-1}$ の定義域を確認します。$\cos^{-1} x$ は $-1 \le x \le 1$ に対して定義され、その値域は $0 \le \cos^{-1} x \le \pi$ です。

次に、$\cos\frac{7}{6}\pi$ を計算します。

$\frac{7}{6}\pi = \pi + \frac{1}{6}\pi$ より、$\cos\frac{7}{6}\pi = \cos(\pi + \frac{1}{6}\pi) = -\cos\frac{1}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$です。

ここで、$y = \cos^{-1}(\cos\frac{7}{6}\pi)$ を計算します。$\frac{7}{6}\pi$ は $0$ から $\pi$ の間ではないので、そのまま $\frac{7}{6}\pi$ にはなりません。

$\cos \theta = \cos (2\pi - \theta)$ という関係を利用すると、

$\cos\frac{7}{6}\pi = \cos(2\pi - \frac{7}{6}\pi) = \cos\frac{5}{6}\pi$です。

$\frac{5}{6}\pi$ は $0 \le \frac{5}{6}\pi \le \pi$ を満たすので、

$\cos^{-1}(\cos\frac{7}{6}\pi) = \cos^{-1}(\cos\frac{5}{6}\pi) = \frac{5}{6}\pi$となります。

問題文より、$\cos^{-1}(\cos\frac{7}{6}\pi) = \frac{A}{6}\pi$なので、$\frac{5}{6}\pi = \frac{A}{6}\pi$が成り立ちます。

したがって、$A = 5$です。

3. 最終的な答え

$A = 5$