次の不定積分を計算します。 $\int \left( \frac{\tan x}{\cos x} \right)^2 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \left( \frac{\tan x}{\cos x} \right)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$\frac{\tan x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

となります。したがって、

$\left( \frac{\tan x}{\cos x} \right)^2 = \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x}$

となります。

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いると、

$\frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^4 x} = \frac{1}{\cos^4 x} - \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^4 x - \sec^2 x$

となります。

したがって、求める積分は

$\int (\sec^4 x - \sec^2 x) dx$

となります。

ここで、$\sec^4 x = \sec^2 x \cdot \sec^2 x = \sec^2 x (1 + \tan^2 x)$ ですから、

$\sec^4 x - \sec^2 x = \sec^2 x (1 + \tan^2 x) - \sec^2 x = \sec^2 x \tan^2 x$

となります。

したがって、積分は

$\int \sec^2 x \tan^2 x dx$

となります。

ここで、 $t = \tan x$ と置換すると、$\frac{dt}{dx} = \sec^2 x$ より $dt = \sec^2 x dx$ となります。

したがって、積分は

$\int t^2 dt = \frac{1}{3} t^3 + C = \frac{1}{3} \tan^3 x + C$

となります。（$C$ は積分定数）

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \tan^3 x + C$