連立不等式 $y \geq x^2$ $y \geq 2 - x$ $y \leq x + 6$ の表す領域を図示し、その領域の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$y \geq x^2$

$y \geq 2 - x$

$y \leq x + 6$

の表す領域を図示し、その領域の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 領域の図示

3つの不等式に対応する領域を図示するために、まず境界線を定める。

$y = x^2$ (放物線)

$y = 2 - x$ (直線)

$y = x + 6$ (直線)

次に、これらの交点を求める。

$x^2 = 2 - x$ を解くと $x^2 + x - 2 = 0$ より $(x+2)(x-1) = 0$。よって、$x = -2, 1$。交点は $(-2, 4)$, $(1, 1)$。

$x^2 = x + 6$ を解くと $x^2 - x - 6 = 0$ より $(x-3)(x+2) = 0$。よって、$x = 3, -2$。交点は $(3, 9)$, $(-2, 4)$。

$2 - x = x + 6$ を解くと $2x = -4$ より $x = -2$。交点は $(-2, 4)$。

領域を図示する。$y \geq x^2$ は放物線の上側、$y \geq 2 - x$ は直線の左側、$y \leq x + 6$ は直線の右側になる。3つの不等式を全て満たす領域が求める領域である。

(2) 面積の計算

求める領域は、直線 $y=x+6$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれた領域と、直線 $y=x+6$ と直線 $y=2-x$ で囲まれた領域から、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2-x$ で囲まれた領域を引いたものと考える。領域を積分で求める。

交点から、$x$ の積分範囲は $-2 \leq x \leq 3$ と $-2 \leq x \leq 1$ である。

まず、$-2 \leq x \leq 1$ の範囲で、$y = 2-x$ と $y=x^2$ で囲まれた領域を求める。

$S_1 = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx = [2x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (-4 - 2 + \frac{8}{3}) = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 6 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{1}{2} - 3 = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

次に、$-2 \leq x \leq 3$ の範囲で、$y = x+6$ と $y=x^2$ で囲まれた領域を求める。

$S_2 = \int_{-2}^{3} (x + 6 - x^2) dx = [\frac{1}{2}x^2 + 6x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{3} = (\frac{9}{2} + 18 - 9) - (2 - 12 + \frac{8}{3}) = \frac{9}{2} + 9 - 2 + 12 - \frac{8}{3} = 19 + \frac{9}{2} - \frac{8}{3} = 19 + \frac{27 - 16}{6} = 19 + \frac{11}{6} = \frac{114 + 11}{6} = \frac{125}{6}$

次に、$-2 \leq x \leq 1$ の範囲で、$y=2-x$ と $y=x+6$ で囲まれた領域を求める。

$S_3 = \int_{-2}^1 (x+6-(2-x)) dx = \int_{-2}^1 (2x+4) dx = [x^2+4x]_{-2}^1 = (1+4)-(4-8) = 5-(-4) = 9$

求める面積 $S = S_2 = \frac{125}{6}$.

3. 最終的な答え

$\frac{125}{6}$