2桁の自然数について、以下の問いに答える。 (1) 5の倍数の個数を求めよ。 (2) 6の倍数または8の倍数の個数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の自然数について、以下の問いに答える。

(1) 5の倍数の個数を求めよ。

(2) 6の倍数または8の倍数の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2桁の自然数は10から99までの整数である。このうち、5の倍数は10, 15, 20, ..., 95の形をしている。

初項10、末項95、公差5の等差数列なので、項数は

$n = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18$

したがって、5の倍数の個数は18個である。

(2) 2桁の自然数のうち、6の倍数の個数を求める。最小のものは12、最大のものは96である。

$n_6 = \frac{96 - 12}{6} + 1 = \frac{84}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$

したがって、6の倍数の個数は15個である。

次に、8の倍数の個数を求める。最小のものは16、最大のものは96である。

$n_8 = \frac{96 - 16}{8} + 1 = \frac{80}{8} + 1 = 10 + 1 = 11$

したがって、8の倍数の個数は11個である。

6の倍数でもあり、8の倍数でもある数は、6と8の最小公倍数である24の倍数である。

2桁の自然数のうち、24の倍数の個数を求める。最小のものは24、最大のものは96である。

$n_{24} = \frac{96 - 24}{24} + 1 = \frac{72}{24} + 1 = 3 + 1 = 4$

したがって、24の倍数の個数は4個である。

6の倍数または8の倍数の個数は、6の倍数の個数と8の倍数の個数を足し、重複して数えた24の倍数の個数を引けば良い。

$n_{6 \text{ or } 8} = n_6 + n_8 - n_{24} = 15 + 11 - 4 = 26 - 4 = 22$

したがって、6の倍数または8の倍数の個数は22個である。

3. 最終的な答え

(1) 18個

(2) 22個