数列 $\{\frac{r^{n+1}-1}{r^n+2}\}$ の極限を調べる問題です。ただし、$r \neq -1$ とします。

1. 問題の内容

数列 $\{\frac{r^{n+1}-1}{r^n+2}\}$ の極限を調べる問題です。ただし、$r \neq -1$ とします。

2. 解き方の手順

$r$ の値によって場合分けをして考えます。

(1) $|r| < 1$ のとき：

$n \to \infty$ で $r^n \to 0$ なので、

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\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n+1}-1}{r^n+2} = \frac{0-1}{0+2} = -\frac{1}{2}

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(2) $r = 1$ のとき：

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\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n+1}-1}{r^n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}-1}{1^n+2} = \frac{1-1}{1+2} = \frac{0}{3} = 0

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(3) $r > 1$ のとき：

分子と分母を $r^n$ で割ると、

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\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n+1}-1}{r^n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{r - \frac{1}{r^n}}{1 + \frac{2}{r^n}} = \frac{r - 0}{1 + 0} = r

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(4) $r < -1$ のとき：

分子と分母を $r^n$ で割ると、

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\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n+1}-1}{r^n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{r - \frac{1}{r^n}}{1 + \frac{2}{r^n}}

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$r < -1$ より、$r^n$ は振動し、$\frac{1}{r^n}$ は $0$ に収束しないため、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $|r| < 1$ のとき、極限は $-\frac{1}{2}$

(2) $r = 1$ のとき、極限は $0$

(3) $r > 1$ のとき、極限は $r$

(4) $r < -1$ のとき、極限は存在しない