(1) 複素数平面上で、$|z|=1$ を満たす点の全体が表す図形（円）と、$|z-1|=|z+1|$ を満たす点の全体が表す図形（直線）の交点の値を求める問題。 (2) 複素数平面上に点O(0), A($\alpha$), B(2)がある。$\alpha$ は $\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を満たし、$\alpha$ の虚部は正である。このとき、$\angle BOA$ の値を求め、さらに$\triangle BOA$ の外接円の中心をC($\gamma$) とするときの $\gamma$ の値を求める問題。 (3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の和を求める問題。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 複素数平面上で、$|z|=1$ を満たす点の全体が表す図形（円）と、$|z-1|=|z+1|$ を満たす点の全体が表す図形（直線）の交点の値を求める問題。

(2) 複素数平面上に点O(0), A($\alpha$), B(2)がある。$\alpha$ は $\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を満たし、$\alpha$ の虚部は正である。このとき、$\angle BOA$ の値を求め、さらに$\triangle BOA$ の外接円の中心をC($\gamma$) とするときの $\gamma$ の値を求める問題。

(3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の和を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

$|z|=1$ は原点中心、半径1の円を表します。

$|z-1|=|z+1|$ は、点1と点-1からの距離が等しい点の集合なので、2点1, -1を結ぶ線分の垂直二等分線、つまり実軸に対して垂直な直線を表します。

これは、x=0 つまり虚軸を表します。

したがって、円 $|z|=1$ と直線 $x=0$ の交点を求めればよいです。

円と直線の交点は、$z = iy$（$y$ は実数）とおくと、$|z| = |iy| = |y| = 1$ なので、$y = \pm 1$。

よって、交点は $z = \pm i$ となります。

(2)

$\alpha^2 - 3\alpha + 3 = 0$ を解くと、$\alpha = \frac{3 \pm \sqrt{9-12}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$ となります。

$\alpha$ の虚部は正なので、$\alpha = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$。

$\alpha$ を極形式で表すと、$\alpha = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} (\cos\theta + i\sin\theta) = \sqrt{3} (\cos\theta + i\sin\theta)$。

$\cos\theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

よって、$\alpha = \sqrt{3} (\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$。

$\overrightarrow{OA} = \alpha$, $\overrightarrow{OB} = 2$ より、

$\angle BOA = \arg(\frac{\alpha}{2}) = \arg(\frac{\sqrt{3}}{2} (\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{6}$

$\triangle BOA$ の外接円の中心C($\gamma$)は、OA=OB=ABとなる正三角形なので、

外心は重心と一致します。

よって、$\gamma = \frac{0 + \alpha + 2}{3} = \frac{\frac{3 + i\sqrt{3}}{2} + 2}{3} = \frac{7 + i\sqrt{3}}{6} = \frac{7}{6} + i \frac{\sqrt{3}}{6}$

(3)

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$

よって、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$

$= \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \dots]$

$= \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\pm i$

(2) $\angle BOA = \frac{\pi}{6}$, $\gamma = \frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6}i$

(3) $\frac{1}{2}$

---

それぞれの空欄に当てはまる値は以下のようになります。

[1] $\pm i$

[2] $\frac{1}{6}$

[3] $\frac{\pi}{}$

[4] $\frac{7}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6}i$

[5] $1$

[6] $2$