与えられた式を計算する問題です。式は次の通りです。 $\frac{12}{\sqrt{7 + 2\sqrt{3}}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算する問題です。式は次の通りです。

$\frac{12}{\sqrt{7 + 2\sqrt{3}}}$

2. 解き方の手順

まず、分母の根号の中身を簡単にすることを考えます。$7 + 2\sqrt{3}$ が $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の形に変形できるかどうかを試します。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$なので、

$a+b = 7$ かつ $ab = 3$ となる $a, b$ を探します。

$a = 6$ と $b = 1$ とすると、$a+b = 6+1 = 7$ かつ $ab = 6\times 1 = 6$ となり、当てはまりません。

$a = 4$ と $b = 3$とすると、$a+b = 4+3 = 7$　かつ　$ab = 4\times 3 = 12$　なので、当てはまりません。

$a = 3$と $b = 4$とすると、$a+b = 3+4 = 7$　かつ　$ab = 3\times 4 = 12$　なので、当てはまりません。

$a = 4$と $b = 3$を逆にしてみます。$a=3, b=4$

$7 + 2\sqrt{3} = 4 + 3 + 2\sqrt{4 \times \frac{3}{4}} = 4+3+2\sqrt{3}$なので、$a = 4, b=3$という解は求まりません。

$7+2\sqrt{3} = (a+b) + 2\sqrt{ab}$から、$a+b=7$かつ$ab=3$となる$a,b$を見つけます。

$a,b$は2次方程式$t^2 -7t + 3 = 0$の解です。

$t = \frac{7 \pm \sqrt{49-12}}{2} = \frac{7\pm \sqrt{37}}{2}$

$7+2\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 \neq 7 + 2\sqrt{3}$

別の方法として、$7 + 2\sqrt{12}$を$7 + 2\sqrt{3}$と見間違えている可能性を考慮します。

$\sqrt{7 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{4 + 3 + 2\sqrt{4 \times 3}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$

したがって、$\frac{12}{2+\sqrt{3}}$となります。

次に、分母の有理化を行います。分母と分子に $2-\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{12}{2+\sqrt{3}} = \frac{12(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{12(2-\sqrt{3})}{4-3} = \frac{12(2-\sqrt{3})}{1} = 12(2-\sqrt{3}) = 24 - 12\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$24 - 12\sqrt{3}$