与えられた数式の積を計算し、その結果を$n$を用いた式で表す問題です。数式は以下です。 $1^2 \cdot n \cdot 2^2 \cdot (n-1) \cdot 3^2 \cdot (n-2) \cdots (n-1)^2 \cdot 2 \cdot n^2 \cdot 1$

1. 問題の内容

与えられた数式の積を計算し、その結果を$n$を用いた式で表す問題です。数式は以下です。

$1^2 \cdot n \cdot 2^2 \cdot (n-1) \cdot 3^2 \cdot (n-2) \cdots (n-1)^2 \cdot 2 \cdot n^2 \cdot 1$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。式は

$1^2 \cdot n \cdot 2^2 \cdot (n-1) \cdot 3^2 \cdot (n-2) \cdots (n-1)^2 \cdot 2 \cdot n^2 \cdot 1$

と表されます。この式は、

$\prod_{k=1}^{n} k^2 \cdot (n-k+1)$

と書けます。

この式をさらに分解すると、

$\prod_{k=1}^{n} k^2 \cdot \prod_{k=1}^{n} (n-k+1)$

となります。

ここで、$\prod_{k=1}^{n} k^2 = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)^2 = (n!)^2$

また、$\prod_{k=1}^{n} (n-k+1) = n \cdot (n-1) \cdots 1 = n!$

したがって、

$(n!)^2 \cdot n! = (n!)^3$

3. 最終的な答え

$(n!)^3$