与えられた複素数を極形式で表す問題です。偏角$\theta$の範囲は、問題番号(1)~(5)では$0 \le \theta < 2\pi$、問題番号(6), (7)では$-\pi < \theta \le \pi$とします。

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。偏角$\theta$の範囲は、問題番号(1)~(5)では$0 \le \theta < 2\pi$、問題番号(6), (7)では$-\pi < \theta \le \pi$とします。

2. 解き方の手順

複素数$z = a + bi$を極形式$r(\cos\theta + i\sin\theta)$で表すには、まず絶対値$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$を計算します。次に、偏角$\theta$を求めます。$\cos\theta = \frac{a}{r}$, $\sin\theta = \frac{b}{r}$となる$\theta$を、指定された範囲で求めます。

(2) $z = -3 - \sqrt{3}i$の場合:

まず、絶対値を計算します。

$r = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

次に、偏角$\theta$を求めます。

$\cos\theta = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で、$\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$かつ$\sin\theta = -\frac{1}{2}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{7\pi}{6}$です。

したがって、極形式は $2\sqrt{3}(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$となります。

(3) $z = \sqrt{5}(1 - i) = \sqrt{5} - \sqrt{5}i$の場合:

まず、絶対値を計算します。

$r = |z| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 5} = \sqrt{10}$

次に、偏角$\theta$を求めます。

$\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で、$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$かつ$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{7\pi}{4}$です。

したがって、極形式は $\sqrt{10}(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4})$となります。

(4) $z = -4$の場合:

$z = -4 + 0i$なので、

まず、絶対値を計算します。

$r = |z| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$

次に、偏角$\theta$を求めます。

$\cos\theta = \frac{-4}{4} = -1$

$\sin\theta = \frac{0}{4} = 0$

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で、$\cos\theta = -1$かつ$\sin\theta = 0$となる$\theta$は、$\theta = \pi$です。

したがって、極形式は $4(\cos\pi + i\sin\pi)$となります。

(5) $z = 3i$の場合:

$z = 0 + 3i$なので、

まず、絶対値を計算します。

$r = |z| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$

次に、偏角$\theta$を求めます。

$\cos\theta = \frac{0}{3} = 0$

$\sin\theta = \frac{3}{3} = 1$

$0 \le \theta < 2\pi$の範囲で、$\cos\theta = 0$かつ$\sin\theta = 1$となる$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{2}$です。

したがって、極形式は $3(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$となります。

(6) $z = 2\sqrt{3} - 2i$の場合:

まず、絶対値を計算します。

$r = |z| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

次に、偏角$\theta$を求めます。

$\cos\theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$-\pi < \theta \le \pi$の範囲で、$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$かつ$\sin\theta = -\frac{1}{2}$となる$\theta$は、$\theta = -\frac{\pi}{6}$です。

したがって、極形式は $4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$となります。

(7) $z = -3 - 3i$の場合:

まず、絶対値を計算します。

$r = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

次に、偏角$\theta$を求めます。

$\cos\theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\pi < \theta \le \pi$の範囲で、$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$かつ$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$\theta$は、$\theta = -\frac{3\pi}{4}$です。

したがって、極形式は $3\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$となります。

3. 最終的な答え

(2) $2\sqrt{3}(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$

(3) $\sqrt{10}(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4})$

(4) $4(\cos\pi + i\sin\pi)$

(5) $3(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

(6) $4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$

(7) $3\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$