与えられた関数をマクローリン展開する問題です。具体的には以下の5つの関数について、マクローリン展開を求めます。 1) $(x^2+x+1)^2 e^{-x^2}$ 2) $\frac{6}{(x+3)^3}$ 3) $Tan^{-1}x^3$ 4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ 5) $x^4 \cos 2x (3-4\cos^2 2x)$ ただし、(2)は $|x|<3$, (3)は $|x|<1$とします。

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開する問題です。具体的には以下の5つの関数について、マクローリン展開を求めます。

1) $(x^2+x+1)^2 e^{-x^2}$

2) $\frac{6}{(x+3)^3}$

3) $Tan^{-1}x^3$

4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$

5) $x^4 \cos 2x (3-4\cos^2 2x)$

ただし、(2)は $|x|<3$, (3)は $|x|<1$とします。

2. 解き方の手順

1) $(x^2+x+1)^2 e^{-x^2}$について

まず、$e^{-x^2}$のマクローリン展開を求めます。$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$より、

$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + ...$

次に、$(x^2+x+1)^2$を展開します。

$(x^2+x+1)^2 = (x^2+x+1)(x^2+x+1) = x^4 + x^3 + x^2 + x^3 + x^2 + x + x^2 + x + 1 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$

最後に、この二つの級数を掛け合わせます。求めたいのはマクローリン展開なので、$x^3$の項まで求めれば十分です。

$(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1)(1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + ...) = 1 + 2x + 3x^2 + 2x^3 - x^2 - 2x^3 - 3x^4 - 2x^5 - x^4 + ... = 1 + 2x + 2x^2 + 0x^3 + ...$

したがって、$1 + 2x + 2x^2 + O(x^3)$.

2) $\frac{6}{(x+3)^3}$について

ヒント1から、$\left(\frac{1}{x+3}\right)^{(2)} = \frac{2!}{(x+3)^3} = \frac{2}{(x+3)^3}$がわかります。

$\frac{1}{x+3} = \frac{1}{3} \frac{1}{1+\frac{x}{3}} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{3})^n = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n} x^n$ (for $|x| < 3$)

$\frac{1}{x+3} = \frac{1}{3} - \frac{x}{9} + \frac{x^2}{27} - \frac{x^3}{81} + ...$

この関数の2階微分を計算します。

$\left(\frac{1}{x+3}\right)' = -\frac{1}{9} + \frac{2x}{27} - \frac{3x^2}{81} + ...$

$\left(\frac{1}{x+3}\right)'' = \frac{2}{27} - \frac{6x}{81} + ...$

$\frac{2}{(x+3)^3} = \frac{2}{27} - \frac{2x}{27} + ...$

$\frac{6}{(x+3)^3} = 3 \times \frac{2}{(x+3)^3} = 3 \times \left(\frac{2}{27} - \frac{2x}{27} + ...\right) = \frac{2}{9} - \frac{2x}{9} + ...$

したがって、$\frac{2}{9} - \frac{2x}{9} + O(x^2)$.

3) $Tan^{-1}x^3$について

ヒント2から、$Tan^{-1}X = \int_0^X \frac{dt}{1+t^2}$です。

$Tan^{-1}x^3 = \int_0^{x^3} \frac{dt}{1+t^2}$

$\frac{1}{1+t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-t^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + ...$ (for $|t| < 1$)

$\int_0^{x^3} \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^{x^3} (1 - t^2 + t^4 - t^6 + ...) dt = [t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + ...]_0^{x^3} = x^3 - \frac{x^9}{3} + \frac{x^{15}}{5} - \frac{x^{21}}{7} + ...$

したがって、$x^3 + O(x^9)$.

4) $\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$について

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + ... = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + ...$

$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + ... = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + ...$

$\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + ...) + (1 - 2x + 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + ...)}{2} = \frac{2 + 4x^2 + ...}{2} = 1 + 2x^2 + ...$

したがって、$1 + 2x^2 + O(x^4)$.

5) $x^4 \cos 2x (3-4\cos^2 2x)$について

まず、三角関数の公式 $cos(3\theta) = 4cos^3(\theta) - 3cos(\theta)$を用いると、$3cos(2x) - 4cos^3(2x) = -cos(6x)$となります。したがって、

$x^4 cos(2x)(3 - 4cos^2(2x)) = -x^4 cos(6x)$.

$cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$

$cos(6x) = 1 - \frac{(6x)^2}{2!} + \frac{(6x)^4}{4!} - ... = 1 - \frac{36x^2}{2} + \frac{1296x^4}{24} - ... = 1 - 18x^2 + 54x^4 - ...$

$-x^4 cos(6x) = -x^4 (1 - 18x^2 + 54x^4 - ...) = -x^4 + 18x^6 - 54x^8 + ...$

したがって、$-x^4 + O(x^6)$.

3. 最終的な答え

1) $1 + 2x + 2x^2 + O(x^3)$

2) $\frac{2}{9} - \frac{2x}{9} + O(x^2)$

3) $x^3 + O(x^9)$

4) $1 + 2x^2 + O(x^4)$

5) $-x^4 + O(x^6)$