与えられた10個の関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

はい、承知いたしました。以下の形式で問題の回答を記述します。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

微分公式、合成関数の微分、積の微分、商の微分を適切に用いて解きます。以下に各問題の解法を示します。

(1) $y = e^{3x}$

合成関数の微分を行います。

$y' = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$

(2) $y = xe^x$

積の微分を行います。

$y' = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$

(3) $y = e^x \cos x$

積の微分を行います。

$y' = (e^x)' \cos x + e^x(\cos x)' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $y = e^x \tan x$

積の微分を行います。

$y' = (e^x)' \tan x + e^x(\tan x)' = e^x \tan x + e^x (\frac{1}{\cos^2 x}) = e^x (\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$

積の微分を行います。

$y' = (e^{2x})' \sin 3x + e^{2x} (\sin 3x)' = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} (3\cos 3x) = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$

積の微分を行います。

$y' = (e^{2x})' \tan 3x + e^{2x} (\tan 3x)' = 2e^{2x} \tan 3x + e^{2x} (\frac{3}{\cos^2 3x}) = e^{2x}(2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$

商の微分を行います。

$y' = \frac{(e^x)'x^2 - e^x(x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{e^x x^2 - e^x(2x)}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

(8) $y = \frac{x}{e^x}$

商の微分を行います。

$y' = \frac{(x)'e^x - x(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1-x)}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}} = e^{-x/3}$

合成関数の微分を行います。

$y' = (e^{-x/3})' = e^{-x/3} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}e^{-x/3} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}} = \frac{x}{e^{x/2}} = xe^{-x/2}$

積の微分を行います。

$y' = (x)' e^{-x/2} + x (e^{-x/2})' = e^{-x/2} + x (-\frac{1}{2}e^{-x/2}) = e^{-x/2} - \frac{x}{2} e^{-x/2} = e^{-x/2}(1-\frac{x}{2}) = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3e^{3x}$

(2) $y' = e^x(1+x)$

(3) $y' = e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $y' = e^x (\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $y' = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $y' = e^{2x}(2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $y' = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

(8) $y' = \frac{1-x}{e^x}$

(9) $y' = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y' = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$