与えられた三角関数の逆関数の値を求める問題です。具体的には、 (1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (2) $\cos^{-1}(0)$ (3) $\tan^{-1}(\tan(\frac{2\pi}{3}))$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の逆関数の値を求める問題です。具体的には、

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

(2) $\cos^{-1}(0)$

(3) $\tan^{-1}(\tan(\frac{2\pi}{3}))$

の値を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$について

$\sin^{-1} x$ は、$\sin \theta = x$ となる $\theta$ を求める関数であり、その値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ です。$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ は、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ です。

(2) $\cos^{-1}(0)$について

$\cos^{-1} x$ は、$\cos \theta = x$ となる $\theta$ を求める関数であり、その値域は $[0, \pi]$ です。$\cos \theta = 0$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

(3) $\tan^{-1}(\tan(\frac{2\pi}{3}))$について

$\tan^{-1} x$ は、$\tan \theta = x$ となる $\theta$ を求める関数であり、その値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ です。ここで、$\frac{2\pi}{3}$ は値域に含まれていないため、$\tan(\frac{2\pi}{3})$ の値が等しく、かつ値域に含まれる角度を探します。

$\tan(\frac{2\pi}{3}) = \tan(\frac{2\pi}{3} - \pi) = \tan(-\frac{\pi}{3})$

$-\frac{\pi}{3}$ は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ に含まれるので、$\tan^{-1}(\tan(\frac{2\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{\pi}{4}$

(2) $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$

(3) $\tan^{-1}(\tan(\frac{2\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$