## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$

(6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$

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2. 解き方の手順

### (5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$ の微分

商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ があるとき、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ です。

ここで、$u(x) = \sin^{-1}x$、$v(x) = \cos^{-1}x$ とすると、

$u'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$v'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cos^{-1}x - \sin^{-1}x (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})}{(\cos^{-1}x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}}{(\cos^{-1}x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^{-1}x + \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2} (\cos^{-1}x)^2}$

$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\pi/2}{\sqrt{1-x^2} (\cos^{-1}x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2} (\cos^{-1}x)^2}$

### (6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分

合成関数の微分を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = \tan^{-1}x$ とすると、$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}} \cdot \frac{1}{1 + x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$

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3. 最終的な答え

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2} (\cos^{-1}x)^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$