与えられた関数 $y = \cos^{-1}(\frac{x}{4})$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^{-1}(\frac{x}{4})$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\cos^{-1}(u)$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ であることを利用します。

まず、$u = \frac{x}{4}$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x}{4}) = \frac{1}{4}$

となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{-1}(\frac{x}{4})) = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{4})^2}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{4\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}}$

となります。

さらに、分母の根号の中を整理すると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{16-x^2}{16}}} = -\frac{1}{4\cdot\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$