関数 $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ を微分せよ。

## (1)の問題

1. 問題の内容

関数 $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して関数を簡略化します。

$\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$と$\log a^n = n \log a$を利用すると、

$y = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2 = 3 \log (x+2) - 2 \log (2x+1)$

となります。

次に、各項を微分します。$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$と合成関数の微分法$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$を利用します。

$\frac{d}{dx} \log (x+2) = \frac{1}{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(x+2) = \frac{1}{x+2} \cdot 1 = \frac{1}{x+2}$

$\frac{d}{dx} \log (2x+1) = \frac{1}{2x+1} \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{x+2} - 2 \cdot \frac{2}{2x+1} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

## (2)の問題

1. 問題の内容

関数 $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して関数を簡略化します。

$\log \frac{ab}{c} = \log a + \log b - \log c$と$\log a^n = n \log a$を利用すると、

$y = \log x + \log \sqrt{2x+1} - \log (2x-1)^2 = \log x + \log (2x+1)^{1/2} - 2 \log (2x-1) = \log x + \frac{1}{2}\log (2x+1) - 2 \log (2x-1)$

となります。

次に、各項を微分します。$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$と合成関数の微分法$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$を利用します。

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} \log (2x+1) = \frac{1}{2x+1} \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

$\frac{d}{dx} \log (2x-1) = \frac{1}{2x-1} \cdot \frac{d}{dx}(2x-1) = \frac{1}{2x-1} \cdot 2 = \frac{2}{2x-1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x+1} - 2 \cdot \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} - \frac{4}{2x-1}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)(2x-1) + x(2x-1) - 4x(2x+1)}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{4x^2 - 1 + 2x^2 - x - 8x^2 - 4x}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(2x+1)(2x-1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(2x+1)(2x-1)}$