関数 $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + 1$ について、以下の問いに答える。 (1) 増減表を作成する。 (2) 極値を求める。 (3) グラフを描く。

## 問題4

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + 1$ について、以下の問いに答える。

(1) 増減表を作成する。

(2) 極値を求める。

(3) グラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 増減表の作成

- まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

- $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。これが極値の候補となる。

- $f'(x)$ の符号の変化を調べる。増減表を作成し、$x$ の値の範囲ごとに $f'(x)$ の符号を記述し、それに対応する $f(x)$ の増減を矢印で示す。

- 極値の候補となる $x$ の値を $f(x)$ に代入して、極値を計算する。

(2) 極値の計算

- $f'(x)=0$となる$x$の値で、$f(x)$が極大値または極小値をとる。増減表から極大値、極小値を判断する。

(3) グラフの作成

- 極値と $f(0)$ などを手がかりにグラフの概形を描く。

以下に具体的な計算を示す。

$f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + 1$

まず導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = -2x^2 + 5x + 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-2x^2 + 5x + 3 = 0$

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

$(2x + 1)(x - 3) = 0$

したがって、$x = -\frac{1}{2}, 3$

次に、増減表を作成する。

| x | ... | -1/2 | ... | 3 | ... |

|------|-----|------|-----|----|-----|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ |

$x = -\frac{1}{2}$ のとき

$f(-\frac{1}{2}) = -\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) + \frac{5}{2}(\frac{1}{4}) + 3(-\frac{1}{2}) + 1$

$= \frac{1}{12} + \frac{5}{8} - \frac{3}{2} + 1$

$= \frac{2 + 15 - 36 + 24}{24} = \frac{5}{24}$

$x = 3$ のとき

$f(3) = -\frac{2}{3}(27) + \frac{5}{2}(9) + 3(3) + 1$

$= -18 + \frac{45}{2} + 9 + 1$

$= -8 + \frac{45}{2} = \frac{-16+45}{2} = \frac{29}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 増減表

| x | ... | -1/2 | ... | 3 | ... |

|------|-----|------|-----|----|-----|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↘ | 5/24 | ↗ | 29/2 | ↘ |

(2) 極値

- 極小値: $x=-\frac{1}{2}$ のとき、 $f(-\frac{1}{2}) = \frac{5}{24}$

- 極大値: $x=3$ のとき、 $f(3) = \frac{29}{2}$

(3) グラフ：

- (省略。増減表と極値に基づいて描画してください。)