(1) $(1+i)^{12}$を計算せよ。 (2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4}$を計算せよ。

1. 問題の内容

(1) $(1+i)^{12}$を計算せよ。

(2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4}$を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1) $1+i$を極形式で表す。

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$

したがって、$1+i = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}))$

ド・モアブルの定理より、

$(1+i)^{12} = (\sqrt{2})^{12}(\cos(\frac{12\pi}{4})+i\sin(\frac{12\pi}{4})) = 2^6(\cos(3\pi)+i\sin(3\pi)) = 64(-1+0i) = -64$

(2) $-\sqrt{3}+i$を極形式で表す。

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\theta = \arctan(\frac{1}{-\sqrt{3}}) = \frac{5\pi}{6}$

したがって、$-\sqrt{3}+i = 2(\cos(\frac{5\pi}{6})+i\sin(\frac{5\pi}{6}))$

ド・モアブルの定理より、

$(-\sqrt{3}+i)^{-4} = 2^{-4}(\cos(\frac{-20\pi}{6})+i\sin(\frac{-20\pi}{6})) = \frac{1}{16}(\cos(\frac{-10\pi}{3})+i\sin(\frac{-10\pi}{3})) = \frac{1}{16}(\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{16}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{32} + i\frac{\sqrt{3}}{32}$

3. 最終的な答え

(1) -64

(2) $-\frac{1}{32} + i\frac{\sqrt{3}}{32}$