2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ が、異なる2つの解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 2つの解がともに1より大きい場合 (2) 2つの解がともに1より小さい場合

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 - 5 = 0$ が、異なる2つの解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 2つの解がともに1より大きい場合

(2) 2つの解がともに1より小さい場合

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つための条件は、判別式 $D > 0$ です。

さらに、$\alpha > k, \beta > k$ (または $\alpha < k, \beta < k$) を満たすための条件は、

(i) $D > 0$

(ii) $(\alpha - k) + (\beta - k) > 0$ (または $(\alpha - k) + (\beta - k) < 0$)

(iii) $(\alpha - k)(\beta - k) > 0$

です。

本問では、$a = 1, b = -2m, c = 2m^2 - 5$ となります。

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(2m^2 - 5) = 4m^2 - 8m^2 + 20 = -4m^2 + 20$

$D > 0$ より、$-4m^2 + 20 > 0 \Rightarrow m^2 < 5 \Rightarrow -\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

次に、解と係数の関係から、$\alpha + \beta = 2m, \alpha\beta = 2m^2 - 5$ となります。

(1) 2つの解がともに1より大きい場合($k = 1$)

(i) $D > 0$ より、$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

(ii) $(\alpha - 1) + (\beta - 1) > 0 \Rightarrow \alpha + \beta - 2 > 0 \Rightarrow 2m - 2 > 0 \Rightarrow m > 1$

(iii) $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0 \Rightarrow \alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 > 0 \Rightarrow (2m^2 - 5) - (2m) + 1 > 0 \Rightarrow 2m^2 - 2m - 4 > 0 \Rightarrow m^2 - m - 2 > 0 \Rightarrow (m - 2)(m + 1) > 0 \Rightarrow m < -1, m > 2$

(i), (ii), (iii) を満たす $m$ の範囲は、$2 < m < \sqrt{5}$

(2) 2つの解がともに1より小さい場合($k = 1$)

(i) $D > 0$ より、$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

(ii) $(\alpha - 1) + (\beta - 1) < 0 \Rightarrow \alpha + \beta - 2 < 0 \Rightarrow 2m - 2 < 0 \Rightarrow m < 1$

(iii) $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0 \Rightarrow \alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 > 0 \Rightarrow (2m^2 - 5) - (2m) + 1 > 0 \Rightarrow 2m^2 - 2m - 4 > 0 \Rightarrow m^2 - m - 2 > 0 \Rightarrow (m - 2)(m + 1) > 0 \Rightarrow m < -1, m > 2$

(i), (ii), (iii) を満たす $m$ の範囲は、$-\sqrt{5} < m < -1$

3. 最終的な答え

(1) $2 < m < \sqrt{5}$

(2) $-\sqrt{5} < m < -1$