AさんとBさんは合わせて52本のボールペンを持っている。AさんがBさんに持っているボールペンの1/3をあげてもまだAさんの方が多く、さらに3本あげるとBさんの方が多くなる。Aさんが初めに持っていたボールペンの本数を求める。

1. 問題の内容

AさんとBさんは合わせて52本のボールペンを持っている。AさんがBさんに持っているボールペンの1/3をあげてもまだAさんの方が多く、さらに3本あげるとBさんの方が多くなる。Aさんが初めに持っていたボールペンの本数を求める。

2. 解き方の手順

まず、Aさんが初めに持っていたボールペンの本数を $x$ とします。すると、Bさんが初めに持っていたボールペンの本数は $52-x$ となります。

AさんがBさんにボールペンの1/3をあげると、Aさんが持っているボールペンの本数は $x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$ となり、Bさんが持っているボールペンの本数は $52-x + \frac{1}{3}x = 52 - \frac{2}{3}x$ となります。このとき、まだAさんの方が多いので、

$\frac{2}{3}x > 52 - \frac{2}{3}x$

となります。

さらにAさんがBさんに3本あげると、Aさんが持っているボールペンの本数は $\frac{2}{3}x - 3$ となり、Bさんが持っているボールペンの本数は $52 - \frac{2}{3}x + 3 = 55 - \frac{2}{3}x$ となります。このとき、Bさんの方が多くなるので、

$\frac{2}{3}x - 3 < 55 - \frac{2}{3}x$

となります。

これらの不等式を解きます。まず、一つ目の不等式から

$\frac{2}{3}x > 52 - \frac{2}{3}x$

$\frac{4}{3}x > 52$

$x > 52 \times \frac{3}{4}$

$x > 39$

となります。

次に、二つ目の不等式から

$\frac{2}{3}x - 3 < 55 - \frac{2}{3}x$

$\frac{4}{3}x < 58$

$x < 58 \times \frac{3}{4}$

$x < 43.5$

となります。

したがって、$39 < x < 43.5$ であり、$x$ は整数なので、$x = 40, 41, 42, 43$ のいずれかとなります。

AさんがBさんに持っているボールペンの1/3をあげるという条件から、Aさんが初めに持っていたボールペンの本数 $x$ は3の倍数である必要があります。

したがって、$x = 42$となります。

$x=42$のとき、Aさんは42本持っていて、Bさんは10本持っています。AさんがBさんに42/3=14本あげると、Aさんは28本、Bさんは24本となります。さらに3本あげると、Aさんは25本、Bさんは27本となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

42