次の2つの問題について、指定された条件を満たす接線の方程式を求めます。 (1) 曲線 $y = \cos 2x$ ($0 \le x \le \pi$) 上の点で、傾きが-1となる接線の方程式を求めます。 (2) 曲線 $y = e^{2x+1}$ に対して、原点(0, 0)から引いた接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

次の2つの問題について、指定された条件を満たす接線の方程式を求めます。

(1) 曲線 $y = \cos 2x$ ($0 \le x \le \pi$) 上の点で、傾きが-1となる接線の方程式を求めます。

(2) 曲線 $y = e^{2x+1}$ に対して、原点(0, 0)から引いた接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = \cos 2x$ の接線で傾きが-1のもの

* $y = \cos 2x$ を微分して、傾きを求める。

$\frac{dy}{dx} = -2\sin 2x$

* 傾きが-1となる $x$ の値を求める。

$-2\sin 2x = -1$

$\sin 2x = \frac{1}{2}$

* $0 \le x \le \pi$ より、$0 \le 2x \le 2\pi$ なので、

$2x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$

* それぞれの $x$ の値に対する $y$ の値を求める。

$x = \frac{\pi}{12}$ のとき、$y = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{5\pi}{12}$ のとき、$y = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* それぞれの接点における接線の方程式を求める。

$x = \frac{\pi}{12}$ のとき、$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = -1(x - \frac{\pi}{12})$

$y = -x + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{5\pi}{12}$ のとき、$y + \frac{\sqrt{3}}{2} = -1(x - \frac{5\pi}{12})$

$y = -x + \frac{5\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) 曲線 $y = e^{2x+1}$ に原点(0, 0)から引いた接線

* 接点を $(t, e^{2t+1})$ とおく。

* $y = e^{2x+1}$ を微分して、傾きを求める。

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x+1}$

* 接点における傾きは $2e^{2t+1}$ となる。

* 接線の方程式は、

$y - e^{2t+1} = 2e^{2t+1}(x - t)$

* この接線が原点(0, 0)を通るので、

$0 - e^{2t+1} = 2e^{2t+1}(0 - t)$

$-e^{2t+1} = -2te^{2t+1}$

* $e^{2t+1} > 0$ より、両辺を $-e^{2t+1}$ で割って、

$1 = 2t$

$t = \frac{1}{2}$

* 接点は $(\frac{1}{2}, e^2)$ となる。

* 傾きは $2e^2$ となる。

* 接線の方程式は、

$y - e^2 = 2e^2(x - \frac{1}{2})$

$y = 2e^2x - e^2 + e^2$

$y = 2e^2x$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y = -x + \frac{5\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $y = 2e^2x$