数学と英語のテスト結果のデータが与えられており、このデータから相関係数を小数点第二位まで求める問題です。

1. 問題の内容

数学と英語のテスト結果のデータが与えられており、このデータから相関係数を小数点第二位まで求める問題です。

2. 解き方の手順

相関係数 $r$ は以下の式で求められます。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

ここで、

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}$

$S_{xx} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2$

$S_{yy} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{n}y_i^2 - n\bar{y}^2$

まず、数学の点数を $x_i$, 英語の点数を $y_i$ とします。与えられたデータは以下の通りです。

数学：67, 46, 78, 31, 83

英語：78, 64, 89, 45, 54

$n = 5$

数学の平均 $\bar{x}$ と英語の平均 $\bar{y}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{67+46+78+31+83}{5} = \frac{305}{5} = 61$

$\bar{y} = \frac{78+64+89+45+54}{5} = \frac{330}{5} = 66$

$\sum_{i=1}^{5} x_i y_i = (67)(78) + (46)(64) + (78)(89) + (31)(45) + (83)(54) = 5226 + 2944 + 6942 + 1395 + 4482 = 20989$

$S_{xy} = 20989 - 5(61)(66) = 20989 - 20130 = 859$

$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 67^2 + 46^2 + 78^2 + 31^2 + 83^2 = 4489 + 2116 + 6084 + 961 + 6889 = 20539$

$S_{xx} = 20539 - 5(61)^2 = 20539 - 5(3721) = 20539 - 18605 = 1934$

$\sum_{i=1}^{5} y_i^2 = 78^2 + 64^2 + 89^2 + 45^2 + 54^2 = 6084 + 4096 + 7921 + 2025 + 2916 = 23042$

$S_{yy} = 23042 - 5(66)^2 = 23042 - 5(4356) = 23042 - 21780 = 1262$

$r = \frac{859}{\sqrt{(1934)(1262)}} = \frac{859}{\sqrt{2440628}} = \frac{859}{1562.25} \approx 0.5498$

小数点第二位まで求めると $0.55$ となります。

3. 最終的な答え

0.55