与えられた不等式は $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0$ です。この不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式は $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0$ です。この不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$ であることに注意して、$\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$ を $\frac{1}{2}$ の累乗で表します。

$\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2(x-1)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-2}$

与えられた不等式は次のように書き換えられます。

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-2} - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$ であるから、

$4 \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2 - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0$

ここで、$t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ とおくと、$t > 0$ であり、与えられた不等式は

$4t^2 - 9t + 2 > 0$

と書き換えられます。

この2次不等式を解きます。2次方程式 $4t^2 - 9t + 2 = 0$ の解は

$t = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{8} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{9 \pm 7}{8}$

したがって、$t = \frac{9+7}{8} = \frac{16}{8} = 2$ または $t = \frac{9-7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ です。

$4t^2 - 9t + 2 = 4(t-2)(t-\frac{1}{4}) > 0$ であるから、$t < \frac{1}{4}$ または $t > 2$ です。

$t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ であるから、$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \frac{1}{4}$ または $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 2$ です。

$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$ より、$x > 2$ です。

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ より、$x < -1$ です。

3. 最終的な答え

$x < -1$ または $x > 2$