$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ のとき、$x^2 - x + 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ のとき、$x^2 - x + 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式 $x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ を変形して、扱いやすくする。

まず、両辺に2を掛ける。

$2x = \sqrt{3} + 1$

次に、1を左辺に移項する。

$2x - 1 = \sqrt{3}$

両辺を2乗する。

$(2x - 1)^2 = (\sqrt{3})^2$

$4x^2 - 4x + 1 = 3$

$4x^2 - 4x - 2 = 0$

両辺を2で割る。

$2x^2 - 2x - 1 = 0$

したがって、$2x^2 - 2x = 1$ となる。

求める式 $x^2 - x + 1$ を変形する。

$x^2 - x + 1 = \frac{1}{2}(2x^2 - 2x) + 1$

$2x^2 - 2x = 1$ を代入する。

$\frac{1}{2}(1) + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$