$p = \log_a x$, $q = \log_a y$, $r = \log_a z$ であるとき、$\log_a x^2 y^3 z^4$ を $p$, $q$, $r$ で表せ。ただし、$a, x, y, z$ は正の数とし、$a \neq 1$ とする。

はい、承知いたしました。問題文を丁寧に解いていきます。

1. 問題の内容

$p = \log_a x$, $q = \log_a y$, $r = \log_a z$ であるとき、$\log_a x^2 y^3 z^4$ を $p$, $q$, $r$ で表せ。ただし、$a, x, y, z$ は正の数とし、$a \neq 1$ とする。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して、与えられた式を変形していきます。

* 対数の積の性質: $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$

* 対数のべき乗の性質: $\log_a M^k = k \log_a M$

$\log_a x^2 y^3 z^4$ を上記の性質を用いて展開します。

$\log_a x^2 y^3 z^4 = \log_a x^2 + \log_a y^3 + \log_a z^4$

次に、べき乗の性質を用いて、各項のべき乗を係数にします。

$\log_a x^2 + \log_a y^3 + \log_a z^4 = 2 \log_a x + 3 \log_a y + 4 \log_a z$

問題文で与えられた $p = \log_a x$, $q = \log_a y$, $r = \log_a z$ を代入します。

$2 \log_a x + 3 \log_a y + 4 \log_a z = 2p + 3q + 4r$

3. 最終的な答え

$2p + 3q + 4r$