問題は以下の定積分の値を求めることです。 $$\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx$$ また、別の問題として、 $$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x-1} dx = \log(e + \boxed{16})$$ の空欄に入る値を求める問題があります。

1. 問題の内容

問題は以下の定積分の値を求めることです。

$$\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx$$

また、別の問題として、

$$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x-1} dx = \log(e + \boxed{16})$$

の空欄に入る値を求める問題があります。

2. 解き方の手順

(7) の問題について：

まず、$u = x-1$ と置換します。すると、$x = u+1$ となり、$dx = du$ となります。積分範囲も変更する必要があります。$x=1$ のとき、$u=0$、$x=2$ のとき、$u=1$となります。したがって、積分は

$$\int_{0}^{1} (u+1)\sqrt{u} du = \int_{0}^{1} (u^{3/2} + u^{1/2}) du$$

となります。これを積分すると、

$$[\frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{6+10}{15} = \frac{16}{15}$$

となります。

(8) の問題について：

まず、積分を計算します。$u = e^x - 1$ と置換すると、$du = e^x dx$ となり、積分範囲は $x=1$ のとき $u = e - 1$、$x=e$ のとき $u = e^e - 1$となります。したがって、積分は

$$\int_{e-1}^{e^e-1} \frac{1}{u} du = [\log(u)]_{e-1}^{e^e-1} = \log(e^e-1) - \log(e-1) = \log(\frac{e^e-1}{e-1})$$

となります。これを整理すると

$$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x-1} dx = [\ln(e^x-1)]_{1}^{e} = \ln(e^e-1) - \ln(e-1) = \ln(\frac{e^e-1}{e-1})$$

積分を計算しなおします。

$$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x-1} dx$$

$u = e^x - 1$ と置換すると、$du = e^x dx$ となり、積分範囲は $x=1$ のとき $u = e - 1$、$x=e$ のとき $u = e^e - 1$となります。したがって、積分は

$$\int_{e-1}^{e^e-1} \frac{1}{u} du = [\log(u)]_{e-1}^{e^e-1} = \log(e^e-1) - \log(e-1) = \log(\frac{e^e-1}{e-1})$$

問題文から

$$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x-1} dx = [\ln(e^x-1)]_{1}^{e} = \ln(e^e-1) - \ln(e-1)$$

$$\int_{1}^{e} \frac{e^x}{e^x-1} dx = \log(e + \boxed{16})$$

とあります。左辺を計算すると

$$[\ln|e^x-1|]_1^e = \ln(e^e-1) - \ln(e-1) = \ln\frac{e^e-1}{e-1}$$

被積分関数が正であることを考慮して絶対値を外しました。

これは $\log(e+16)$ とは等しくありません。

改めて考え直すと、不定積分は $\ln(e^x-1)$ であるから、

$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx = \ln(e^e - 1) - \ln(e-1) = \ln(\frac{e^e-1}{e-1})$

問題の形式に合わせるためには、積分範囲を間違えている可能性があります。

3. 最終的な答え

(7) $\frac{16}{15}$。したがって、12, 13, 14, 15 に入る数字はそれぞれ 1, 6, 1, 5

(8) 積分範囲が誤っているため、解けません。

もし積分範囲が $\ln(2)$ から $\ln(17)$ ならば、

$\int_{\ln 2}^{\ln 17} \frac{e^x}{e^x-1}dx = [\ln(e^x-1)]_{\ln 2}^{\ln 17} = \ln(16)-\ln(1) = \ln 16 = \ln(e+16)$ とはならない。問題文がおかしいです。

問題文が $\int_0^{\ln 17} \frac{e^x}{e^x-1}dx$ とあった場合に積分は発散します。

問題文が $\int_{\ln 2}^{\ln(e+1)} \frac{e^x}{e^x-1} dx = \ln e - \ln 1 = 1$ だから　$\log(e+0)$. つまり答えは 0。

これはないでしょう。

問題文がおかしいので解けません。

もし問題文が $\int_{1}^{e} \frac{1}{x \ln x} dx = \log(e + \boxed{16})$ であれば、$u = \ln x$ とおけば、$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} du$ となって解けません。

したがって、問題文が間違っている可能性があります。

とりあえず、16 の箱には何も入れずに終わりたいと思います。

最終的な答えは、問題(7)は$\frac{16}{15}$ で、問題(8)は解けない。