与えられた3つの式をそれぞれ因数分解します。 (1) $(a - b)c^2 + (b - c)a^2 + (c - a)b^2$ (2) $x^4 + 3x^2 + 4$ (3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ因数分解します。

(1) $(a - b)c^2 + (b - c)a^2 + (c - a)b^2$

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$

(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$

2. 解き方の手順

(1) $(a - b)c^2 + (b - c)a^2 + (c - a)b^2$ を因数分解します。

まず、展開します。

$ac^2 - bc^2 + ba^2 - ca^2 + cb^2 - ab^2$

これを整理すると、

$ac^2 - bc^2 + ba^2 - ca^2 + cb^2 - ab^2 = -(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $x^4 + 3x^2 + 4$ を因数分解します。

$x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 = (x^2 + 2)^2 - x^2$

$(x^2 + 2 + x)(x^2 + 2 - x) = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(3) $x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ を因数分解します。

$P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ とします。

$P(1) = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$ なので、$x-1$ を因数に持ちます。

$P(-1) = 1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$ なので、$x+1$ を因数に持ちます。

$P(2) = 16 - 8 - 28 + 2 + 6 = -12$

$P(-2) = 16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0$ なので、$x+2$ を因数に持ちます。

$P(3) = 81 - 27 - 63 + 3 + 6 = 0$ なので、$x-3$ を因数に持ちます。

よって、$P(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x-3)$

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)$

(3) $(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)$