与えられた行列 $A$ に対して、以下の2つの問題を解きます。 (1) 行列 $A$ の階数 rank $A$ を求めます。 (2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分を求めます。 ここで与えられた行列 $A$ は $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \\ 0 & \frac{1}{7} & -\frac{1}{7} \\ -\frac{1}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{2}{7} \end{bmatrix}$ です。

## 問題の解説

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、以下の2つの問題を解きます。

(1) 行列 $A$ の階数 rank $A$ を求めます。

(2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分を求めます。

ここで与えられた行列 $A$ は

$A = \begin{bmatrix}

\frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \\

0 & \frac{1}{7} & -\frac{1}{7} \\

-\frac{1}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{2}{7}

\end{bmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の階数を求める。

行列の階数は、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。 行列 $A$ の階数を求めるには、行列を簡約化して、ゼロでない行の数を数えます。

$A = \begin{bmatrix}

\frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \\

0 & \frac{1}{7} & -\frac{1}{7} \\

-\frac{1}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{2}{7}

\end{bmatrix}$

まず、1行目を7倍すると

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

0 & \frac{1}{7} & -\frac{1}{7} \\

-\frac{1}{7} & \frac{4}{7} & -\frac{2}{7}

\end{bmatrix}$

次に、3行目に1行目の $\frac{1}{7}$ 倍を加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

0 & \frac{1}{7} & -\frac{1}{7} \\

0 & \frac{6}{7} & \frac{1}{7}

\end{bmatrix}$

次に、2行目を7倍すると

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

0 & 1 & -1 \\

0 & \frac{6}{7} & \frac{1}{7}

\end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目の $\frac{6}{7}$ 倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

0 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}$

ゼロでない行は3つあります。したがって、行列 $A$ の階数は 3 です。

(2) $A^{-1}$ の (2,3) 成分を求める。

まず、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。しかし、$A^{-1}$ の (2,3) 成分だけを求める場合は、余因子行列を使うのが効率的です。

$A^{-1}$ の (2,3) 成分は、行列 $A$ の余因子行列の転置行列の (3,2) 成分を $|A|$ で割ったものです。つまり、$A^{-1}_{23} = \frac{C_{32}}{|A|}$ で求められます。ここで、$C_{32}$ は $A$ の (3,2) 成分の余因子です。

$|A| = \frac{1}{7} \left( \frac{-2}{49} + \frac{4}{49} \right) - \frac{2}{7} \left(0 - \frac{1}{49} \right) + \frac{3}{7}\left( 0 - \left(-\frac{1}{49}\right) \right) = \frac{2}{343} + \frac{2}{343} + \frac{3}{343} = \frac{7}{343} = \frac{1}{49}$.

$C_{32} = (-1)^{3+2} \det \begin{bmatrix} \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \\ 0 & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} = (-1) \left(-\frac{1}{49} \right) = \frac{1}{49}$

したがって、$A^{-1}_{23} = \frac{C_{32}}{|A|} = \frac{1/49}{1/49} = 1$.

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A$ の階数 rank $A$ は 3 です。

(2) $A^{-1}$ の (2,3) 成分は 1 です。