定数 $a$ に対して、関数 $y = x^2 - 2x + 1$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最小値 $m$ と最大値 $M$ を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ に対して、関数 $y = x^2 - 2x + 1$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最小値 $m$ と最大値 $M$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最小値 $m$ を求める。

まず、与えられた関数 $y = x^2 - 2x + 1$ を平方完成します。

$y = (x-1)^2$

これは頂点が $(1,0)$ の下に凸な放物線です。区間 $a \le x \le a+1$ における最小値を考えるために、軸 $x=1$ と区間 $a \le x \le a+1$ の位置関係によって場合分けを行います。

(i) $a+1 < 1$ つまり $a < 0$ のとき、区間 $a \le x \le a+1$ で関数は単調減少するので、$x = a+1$ で最小値をとります。

$m = (a+1-1)^2 = a^2$

(ii) $a \le 1 \le a+1$ つまり $0 \le a \le 1$ のとき、区間内に軸 $x=1$ が含まれるので、$x=1$ で最小値をとります。

$m = (1-1)^2 = 0$

(iii) $1 < a$ のとき、区間 $a \le x \le a+1$ で関数は単調増加するので、$x = a$ で最小値をとります。

$m = (a-1)^2$

(2) 最大値 $M$ を求める。

区間 $a \le x \le a+1$ の端点 $x=a$ と $x=a+1$ における $y$ の値を比較します。

$y(a) = (a-1)^2$

$y(a+1) = (a+1-1)^2 = a^2$

ここで、$y(a) - y(a+1) = (a-1)^2 - a^2 = a^2 - 2a + 1 - a^2 = -2a + 1$ となります。

したがって、$y(a) > y(a+1)$ となるのは $-2a + 1 > 0$ つまり $a < \frac{1}{2}$ のとき、$y(a) < y(a+1)$ となるのは $a > \frac{1}{2}$ のとき、$y(a) = y(a+1)$ となるのは $a = \frac{1}{2}$ のときです。

(i) $a < \frac{1}{2}$ のとき、$x=a$ で最大値をとります。

$M = (a-1)^2$

(ii) $a > \frac{1}{2}$ のとき、$x=a+1$ で最大値をとります。

$M = a^2$

(iii) $a = \frac{1}{2}$ のとき、$x=a$ でも $x=a+1$ でも最大値をとります。

$M = (\frac{1}{2}-1)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

以上より、

$a \le \frac{1}{2}$ のとき $M = (a-1)^2$

$a \ge \frac{1}{2}$ のとき $M = a^2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $m$

$a < 0$ のとき $m = a^2$

$0 \le a \le 1$ のとき $m = 0$

$1 < a$ のとき $m = (a-1)^2$

(2) 最大値 $M$

$a \le \frac{1}{2}$ のとき $M = (a-1)^2$

$a \ge \frac{1}{2}$ のとき $M = a^2$