問題39の(1)から(ウ)と(2)の図形の面積を求める問題です。 (ア) 曲線 $y = 2x^2$、x軸、直線 $x = 2$で囲まれた図形の面積を求めます。 (イ) 曲線 $y = x^2 - 2x + 1$ と直線 $y = x + 1$で囲まれた図形の面積を求めます。 (ウ) 曲線 $y = x^2 - 2$ と曲線 $y = -x^2 + 2x + 2$で囲まれた図形の面積を求めます。 (2) 放物線 $y = \frac{1}{4}x^2 + 1$ に点 $(1, -1)$ から2つの接線を引く。この放物線と2つの接線に囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

問題39の(1)から(ウ)と(2)の図形の面積を求める問題です。

(ア) 曲線 $y = 2x^2$、x軸、直線 $x = 2$で囲まれた図形の面積を求めます。

(イ) 曲線 $y = x^2 - 2x + 1$ と直線 $y = x + 1$で囲まれた図形の面積を求めます。

(ウ) 曲線 $y = x^2 - 2$ と曲線 $y = -x^2 + 2x + 2$で囲まれた図形の面積を求めます。

(2) 放物線 $y = \frac{1}{4}x^2 + 1$ に点 $(1, -1)$ から2つの接線を引く。この放物線と2つの接線に囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) 求める面積は、定積分で計算できます。積分範囲は $0$ から $2$ までです。

$S = \int_{0}^{2} 2x^2 \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}(2^3 - 0^3) = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3}$

(イ) まず、2つのグラフの交点を求めます。

$x^2 - 2x + 1 = x + 1$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

求める面積は、定積分で計算できます。積分範囲は $0$ から $3$ までです。

$S = \int_{0}^{3} (x + 1 - (x^2 - 2x + 1)) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = -\frac{1}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2}$

(ウ) まず、2つのグラフの交点を求めます。

$x^2 - 2 = -x^2 + 2x + 2$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

求める面積は、定積分で計算できます。積分範囲は $-1$ から $2$ までです。

$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2x + 2 - (x^2 - 2)) \, dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} = \left( -\frac{2}{3}(2^3) + 2^2 + 4(2) \right) - \left( -\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) \right) = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right) = -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 = 15 - \frac{18}{3} = 15 - 6 = 9$

(2) 点 $(1, -1)$ から放物線 $y = \frac{1}{4}x^2 + 1$ に引いた接線を求めます。

接点を $(t, \frac{1}{4}t^2 + 1)$ とすると、$y' = \frac{1}{2}x$ より、接線の傾きは $\frac{1}{2}t$ です。

接線の方程式は $y - (\frac{1}{4}t^2 + 1) = \frac{1}{2}t(x - t)$ となります。

この接線が $(1, -1)$ を通るので、代入すると、

$-1 - (\frac{1}{4}t^2 + 1) = \frac{1}{2}t(1 - t)$

$-2 - \frac{1}{4}t^2 = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}t^2$

$-\frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{2}t + 2 = 0$

$\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t + 2 = 0$

$t^2 - 2t + 8 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(1)(8) = 4 - 32 = -28 < 0$ となり、接線は存在しない。問題文に誤りがある可能性があります。仮に接線が存在するとして、接点のx座標を $\alpha$ と $\beta$ とすると、求める面積は

$S = \left| \int_{\alpha}^{\beta} (\frac{1}{4}x^2+1 - (ax + b)) dx\right| = \frac{|(\beta - \alpha)^3|}{24}$

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{16}{3}$

(イ) $\frac{9}{2}$

(ウ) $9$

(2) 解なし