2つの力 $F_1 = 40N$ と $F_2 = 30N$ があり、そのなす角 $\theta = 45^\circ$ である。これらの力の合力 $F$ と、$F$ と $F_1$ のなす角 $\alpha$ を求める。

1. 問題の内容

2つの力 $F_1 = 40N$ と $F_2 = 30N$ があり、そのなす角 $\theta = 45^\circ$ である。これらの力の合力 $F$ と、$F$ と $F_1$ のなす角 $\alpha$ を求める。

2. 解き方の手順

合力 $F$ の大きさは、余弦定理を用いて計算できる。

$F^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos{\theta}$

$F_1 = 40N$, $F_2 = 30N$, $\theta = 45^\circ$ を代入する。

$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$F^2 = 40^2 + 30^2 + 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$F^2 = 1600 + 900 + 1200\sqrt{2}$

$F^2 = 2500 + 1200\sqrt{2}$

$F^2 \approx 2500 + 1200 \cdot 1.414 = 2500 + 1696.8 \approx 4196.8$

$F = \sqrt{4196.8} \approx 64.78 N$

次に、角度 $\alpha$ を求めるために正弦定理を用いる。

$\frac{F_2}{\sin{\alpha}} = \frac{F}{\sin{\theta}}$

$\sin{\alpha} = \frac{F_2 \sin{\theta}}{F}$

$\sin{\alpha} = \frac{30 \cdot \sin{45^\circ}}{64.78}$

$\sin{\alpha} = \frac{30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{64.78} = \frac{30 \cdot 0.7071}{64.78} \approx \frac{21.213}{64.78} \approx 0.3275$

$\alpha = \arcsin(0.3275) \approx 19.11^\circ$

3. 最終的な答え

合力 $F \approx 64.78 N$

角度 $\alpha \approx 19.11^\circ$