関数 $f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$ について、$f'(x) = 0$ を満たす $x$ を求める問題です。選択肢として、$\pm3$, $\pm4$, $\pm\sqrt{5}$ が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$ について、$f'(x) = 0$ を満たす $x$ を求める問題です。選択肢として、$\pm3$, $\pm4$, $\pm\sqrt{5}$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。

$f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$

合成関数の微分公式を使うと、

$f'(x) = 2(\log|x^2 - 2|) \cdot \frac{1}{|x^2 - 2|} \cdot \frac{2x(x^2 - 2)}{|x^2 - 2|} \cdot \frac{|x^2 - 2|}{x^2 - 2}$

$f'(x) = 2 \log|x^2 - 2| \cdot \frac{2x}{x^2 - 2}$

$f'(x) = \frac{4x \log|x^2 - 2|}{x^2 - 2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、以下のいずれかの場合です。

(1) $x = 0$

(2) $\log|x^2 - 2| = 0$

(3) $x^2 - 2$ が定義域外

$\log|x^2 - 2| = 0$ の場合、

$|x^2 - 2| = 1$ となります。

したがって、$x^2 - 2 = 1$ または $x^2 - 2 = -1$ となります。

$x^2 - 2 = 1$ の場合、$x^2 = 3$ となり、$x = \pm\sqrt{3}$ となります。

$x^2 - 2 = -1$ の場合、$x^2 = 1$ となり、$x = \pm1$ となります。

$f'(x)$ の分母が0になる $x^2 = 2$ つまり $x = \pm\sqrt{2}$は定義域外なので考えません。

選択肢の中から、$f'(x)=0$を満たすものを探します。

与えられた選択肢は、$\pm3$, $\pm4$, $\pm\sqrt{5}$ です。これらの値を$x^2$に代入すると、$x^2 = 9, 16, 5$。それぞれ、$|x^2 - 2| = 7, 14, 3$となり、$\log|x^2 - 2| = 0$とはならないので、$f'(x) = 0$とはなりません。

上記の結果から、$\log|x^2 - 2| = 0$ となる、$x = \pm \sqrt{3}$, $x = \pm 1$, $x = 0$はいずれも選択肢に含まれていません。

$f'(x)=0$を満たす$x=0$も選択肢には含まれていません。

与えられた選択肢に当てはまるものはないようです。

しかし、$f'(x) = \frac{4x \log|x^2 - 2|}{x^2 - 2}$から、$x^2 - 2 = 0$となるとき、すなわち$x = \pm \sqrt{2}$では関数が定義されないので、$f'(x)$も定義されません。

$f'(x) = 0$の解は、選択肢にはありません。

選択肢に最も近いものを探すことにします。

与えられた選択肢の値を$f'(x)$に代入して計算します。

$f'(\pm3) = \frac{\pm12\log(7)}{7} \neq 0$

$f'(\pm4) = \frac{\pm16\log(14)}{14} \neq 0$

$f'(\pm\sqrt{5}) = \frac{\pm4\sqrt{5}\log(3)}{3} \neq 0$

3. 最終的な答え

選択肢の中に解はありません。問題文に誤りがある可能性があります。もし選択肢から選ぶとすれば、$\pm \sqrt{3}$に一番近い$\pm \sqrt{5}$が考えられます。