50人の生徒がいる。音楽が好きな生徒は $x$ 人、スポーツが好きな生徒は音楽が好きな生徒より15人多い。音楽が好きな生徒の半数はスポーツも好きである。音楽もスポーツも好きでない生徒が5人であるとき、$x$ の値を求めよ。

## 問題7

1. 問題の内容

50人の生徒がいる。音楽が好きな生徒は $x$ 人、スポーツが好きな生徒は音楽が好きな生徒より15人多い。音楽が好きな生徒の半数はスポーツも好きである。音楽もスポーツも好きでない生徒が5人であるとき、$x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* 音楽が好きな生徒の集合を $A$、スポーツが好きな生徒の集合を $B$ とする。

* 問題文より、以下のことがわかる。

* $n(U) = 50$ (全体の生徒数)

* $n(A) = x$ (音楽が好きな生徒数)

* $n(B) = x + 15$ (スポーツが好きな生徒数)

* $n(A \cap B) = x/2$ (音楽もスポーツも好きな生徒数)

* $n(\overline{A \cup B}) = 5$ (音楽もスポーツも好きでない生徒数)

* 全体集合 $U$ の要素数は、 $A \cup B$ の要素数と $\overline{A \cup B}$ の要素数の和に等しい。

$n(U) = n(A \cup B) + n(\overline{A \cup B})$

$n(A \cup B) = n(U) - n(\overline{A \cup B})$

$n(A \cup B) = 50 - 5 = 45$

* $A \cup B$ の要素数は、 $A$ の要素数と $B$ の要素数の和から、$A \cap B$ の要素数を引いたものに等しい。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$45 = x + (x + 15) - x/2$

* $x$ について解く。

$45 = x + x + 15 - x/2$

$45 - 15 = 2x - x/2$

$30 = (4x - x)/2$

$30 = 3x/2$

$60 = 3x$

$x = 20$

3. 最終的な答え

$x = 20$