大小2つのサイコロを投げ、大きい方の目を$a$、小さい方の目を$b$とする。$a^2 + b^2$ の値が4の倍数となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを投げ、大きい方の目を$a$、小さい方の目を$b$とする。$a^2 + b^2$ の値が4の倍数となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りである。次に、$a^2 + b^2$ が4の倍数となる場合を考える。

$a$ と $b$ の組み合わせについて、$a^2 + b^2$ を4で割った余りを考える。

$a, b$ は 1, 2, 3, 4, 5, 6 のいずれかの値をとる。

それぞれの2乗を4で割った余りは以下のようになる。

- $1^2 = 1 \equiv 1 \pmod{4}$

- $2^2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}$

- $3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{4}$

- $4^2 = 16 \equiv 0 \pmod{4}$

- $5^2 = 25 \equiv 1 \pmod{4}$

- $6^2 = 36 \equiv 0 \pmod{4}$

したがって、$a^2 \pmod{4}$ および $b^2 \pmod{4}$ は 0 または 1 となる。

$a^2 + b^2$ が4の倍数となるのは、

1. $a^2 \equiv 0 \pmod{4}$ かつ $b^2 \equiv 0 \pmod{4}$ の場合

2. $a^2 \equiv 2 \pmod{4}$ の場合 (これはありえない)

1. $a^2 \equiv 0 \pmod{4}$ かつ $b^2 \equiv 0 \pmod{4}$ の場合

$a$ と $b$ がともに偶数の場合である。$a, b \in \{2, 4, 6\}$ である。

この場合、組み合わせは $3 \times 3 = 9$ 通りある。

$a>b$ であることに注意すると、$a=b$の場合は(2,2),(4,4),(6,6)の3通り。

$a>b$の場合、$a,b$の組は(2,x),(4,x),(6,x)で、$a>b$という条件より

(2,x)となるのはx=1のみであり不適。

(4,x)となるのはx=1,2,3であり、xが偶数の2の場合のみ適する。

(6,x)となるのはx=1,2,3,4,5であり、xが偶数の2,4の場合のみ適する。

したがって、適する組み合わせは(4,2),(6,2),(6,4)の3通りである。

よって、合計の組み合わせは3+3=6通りではなく3+3x3=12通りである。

ここで、aとbに大小関係があるから、$a,b \in \{2,4,6\}$であることに注意すると、

$a>b$となる組は、

(4,2),(6,2),(6,4)の3通り。

$a=b$となる組は、

(2,2),(4,4),(6,6)の3通り。

$a^2 + b^2$が4の倍数となる場合の数は、$3+3 = 6$ 通りではなく$9$通り。

求める確率は、$\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

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