白玉2個と赤玉3個が入った袋から2個の玉を同時に取り出すとき、出る白玉の個数を確率変数 $X$ とする。このとき、$X$ の分散と標準偏差を求める問題です。

1. 問題の内容

白玉2個と赤玉3個が入った袋から2個の玉を同時に取り出すとき、出る白玉の個数を確率変数 $X$ とする。このとき、$X$ の分散と標準偏差を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ が取りうる値を考えます。袋から2個の玉を取り出すので、白玉の個数は0個、1個、2個のいずれかになります。したがって、$X$ は $X = 0, 1, 2$ の値を取ります。

次に、$X$ の確率分布を求めます。袋の中には合計5個の玉があり、そのうち白玉は2個、赤玉は3個です。

* $X = 0$ (白玉が0個、つまり赤玉が2個) となる確率：

$P(X=0) = \frac{{}_3C_2}{{}_5C_2} = \frac{3}{10}$

* $X = 1$ (白玉が1個、赤玉が1個) となる確率：

$P(X=1) = \frac{{}_2C_1 \times {}_3C_1}{{}_5C_2} = \frac{2 \times 3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

* $X = 2$ (白玉が2個) となる確率：

$P(X=2) = \frac{{}_2C_2}{{}_5C_2} = \frac{1}{10}$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を計算します。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{3}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} + \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{3}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

次に、$X$ の分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

最後に、$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を計算します。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

分散: $\frac{9}{25}$

標準偏差: $\frac{3}{5}$