赤玉、青玉、白玉がそれぞれ5個ずつ入った箱から、5個の玉を取り出すとき、取り出し方の組み合わせは何通りあるか。

1. 問題の内容

赤玉、青玉、白玉がそれぞれ5個ずつ入った箱から、5個の玉を取り出すとき、取り出し方の組み合わせは何通りあるか。

2. 解き方の手順

この問題は重複組み合わせの問題として解くことができます。

赤玉を$x$個、青玉を$y$個、白玉を$z$個取り出すとすると、

$x + y + z = 5$

となる。ここで、$x, y, z$はそれぞれ0以上5以下の整数である。

この式を満たす整数の組み合わせの数を求めればよい。

これは、5個の区別できない玉を3種類の箱に入れる方法の数と同じである。

重複組み合わせの公式を用いると、

$_{n}H_{r} = \ _{n+r-1}C_{r}$

ここで、$n$は種類数、$r$は取り出す個数である。

この問題では、$n = 3$（赤、青、白の3種類）、$r = 5$（取り出す玉の個数）なので、

$_{3}H_{5} = \ _{3+5-1}C_{5} = \ _{7}C_{5}$

$_{7}C_{5} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

3. 最終的な答え

21通り