8人の生徒を、教室掃除2人、廊下2人、庭2人、グランド2人の4つのグループに分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

8人の生徒を、教室掃除2人、廊下2人、庭2人、グランド2人の4つのグループに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、8人から教室掃除の2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは組み合わせの公式を用いて $\binom{8}{2}$ と表されます。

次に、残りの6人から廊下掃除の2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $\binom{6}{2}$ と表されます。

さらに、残りの4人から庭掃除の2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $\binom{4}{2}$ と表されます。

最後に、残りの2人はグランド掃除の2人となるので、組み合わせは $\binom{2}{2}=1$ となります。

これらの組み合わせをすべて掛け合わせます。

$\binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2}$

組み合わせの公式は $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ であり、$n!$ は $n$ の階乗を表します。

$\binom{8}{2} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$\binom{2}{2} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

したがって、

$28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$

しかし、この計算では、教室、廊下、庭、グランドの順に選ぶことを考えているため、場所の区別をしています。問題文では場所の区別がないため、2人ずつの4つのグループに分ける場合の数の重複を考慮する必要があります。それぞれのグループ人数が同じであるとき、グループの並び順の自由度を考慮する必要があります。4グループとも人数が2人で同じなので、4!で割る必要があります。

$2520 / 4! = 2520 / (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 2520 / 24 = 105$

3. 最終的な答え

105通り