7つの文字 a, a, a, b, c, d, e を1列に並べる。 (1) 並べ方の総数を求める。 (2) c が d より左、e が d より右に並ぶ並べ方の数を求める。

1. 問題の内容

7つの文字 a, a, a, b, c, d, e を1列に並べる。

(1) 並べ方の総数を求める。

(2) c が d より左、e が d より右に並ぶ並べ方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 7つの文字の中に a が 3 つあるので、同じものを含む順列の公式を用いる。

7つの文字を並べる順列の総数は、

$\frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通り

(2) c, d, e の位置関係が指定されている。 まず、c, d, e を区別せずに考えると、c, d, e の並び方は3! = 6通りある。

その中で、c が d より左、e が d より右に並ぶのは、c, d, e の並びが c, d, e の場合のみである。

したがって、c, d, e の並び方が条件を満たす確率は 1/6 である。

7つの文字を並べる順列の総数は $\frac{7!}{3!} = 840$ 通りであり、そのうち c が d より左、e が d より右に並ぶ並べ方の数は、

$\frac{7!}{3! \times 3!} \times \frac{3!}{1} = \frac{7!}{3!} \times \frac{1}{3!} = 840 \times \frac{1}{6} = 140$

つまり c,d,e の場所を仮に□と置くと、a,a,a,b,□,□,□ の並び方は、7C3 * 4C1 * 3C1 * 2C1 * 1C1 = 7! / 3! = 840通り。

そして□にc,d,eを当てはめる6通りのうち条件を満たすのはc,d,eの1通り。

なので、840/6 = 140通り

3. 最終的な答え

(1) 840 通り

(2) 140 通り