白玉4個と赤玉2個が入った袋から、2個の玉を同時に取り出す。取り出した赤玉の個数を$X$とする。$X$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

白玉4個と赤玉2個が入った袋から、2個の玉を同時に取り出す。取り出した赤玉の個数を$X$とする。$X$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$がとりうる値を考える。$X$は取り出した赤玉の個数なので、$X=0, 1, 2$である。それぞれの確率を計算する。

* $X = 0$ のとき：2個とも白玉を取り出す確率。

袋の中に白玉は4個、赤玉は2個、合計6個の玉が入っている。2個の玉を取り出す方法は$_{6}C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。2個とも白玉を取り出す方法は$_{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。したがって、

$P(X=0) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

* $X = 1$ のとき：白玉1個と赤玉1個を取り出す確率。

白玉1個を選ぶ方法は$_{4}C_{1} = 4$通り。赤玉1個を選ぶ方法は$_{2}C_{1} = 2$通り。したがって、白玉1個と赤玉1個を取り出す方法は$4 \times 2 = 8$通り。

$P(X=1) = \frac{8}{15}$

* $X = 2$ のとき：2個とも赤玉を取り出す確率。

2個とも赤玉を取り出す方法は$_{2}C_{2} = 1$通り。

$P(X=2) = \frac{1}{15}$

$X$の期待値$E(X)$は、次のように計算される。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$

$E(X) = 0 \times \frac{2}{5} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{1}{15}$

$E(X) = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15}$

$E(X) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$