赤玉、青玉、白玉がそれぞれ5個ずつ入った箱から5個の玉を取り出す。 (ア) 取り出し方の組み合わせは何通りあるか。 (イ) 各色の玉が少なくとも1個は選ばれる組み合わせは何通りあるか。

1. 問題の内容

赤玉、青玉、白玉がそれぞれ5個ずつ入った箱から5個の玉を取り出す。

(ア) 取り出し方の組み合わせは何通りあるか。

(イ) 各色の玉が少なくとも1個は選ばれる組み合わせは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、同じ種類の玉を複数個選ぶことができるので、これは重複組み合わせの問題である。3種類のものから5個を選ぶ重複組み合わせの数は、$_3H_5$ で表される。

重複組み合わせは、組み合わせの記号を使って書き換えることができる。

$_nH_r = {}_{n+r-1}C_r$

したがって、

$_3H_5 = {}_{3+5-1}C_5 = {}_7C_5$

また、${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$を利用して、

${}_7C_5 = {}_7C_{7-5} = {}_7C_2$

${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(イ)

各色の玉が少なくとも1個は選ばれるということは、赤、青、白をそれぞれ1個ずつ選んだ上で、残りの2個を何色にするかという問題になる。残りの2個の選び方は、以下の通り。

* 赤2個

* 青2個

* 白2個

* 赤1個、青1個

* 赤1個、白1個

* 青1個、白1個

これは3種類のものから2個を選ぶ重複組み合わせの問題である。

$_3H_2 = {}_{3+2-1}C_2 = {}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

3. 最終的な答え

(ア) 21通り

(イ) 6通り