$\sin(2\cos^{-1}(\frac{1}{5}))$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin(2\cos^{-1}(\frac{1}{5}))$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{5})$ とおく。このとき、$\cos \theta = \frac{1}{5}$ であり、$0 \le \theta \le \pi$ である。

求める値は $\sin(2\theta)$ である。

$\sin(2\theta)$ を計算するために、三角関数の2倍角の公式を使う。

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

$\cos \theta = \frac{1}{5}$ であるから、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$0 \le \theta \le \pi$ であるから、$\sin \theta \ge 0$ である。したがって、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ である。

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{6}}{25}$