与えられた2重根号を外す問題です。具体的には、 (1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ (2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ の2つの式を簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた2重根号を外す問題です。具体的には、

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$

(2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

の2つの式を簡単にします。

2. 解き方の手順

2重根号を外すためには、根号の中身を $(a \pm b)^2 = a^2 + b^2 \pm 2ab$ の形に変形する必要があります。

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ について:

$8+2\sqrt{7}$ を $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ の形にすることを考えます。

$ab = \sqrt{7}$ となるように、$a$ と $b$ を探します。

$a = \sqrt{7}, b = 1$ とすると、$a^2 + b^2 = 7 + 1 = 8$ となり、条件を満たします。

したがって、$8+2\sqrt{7} = (\sqrt{7} + 1)^2$ となります。

$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7} + 1$

(2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ について:

$11-6\sqrt{2} = 11 - 2 \cdot 3\sqrt{2} = 11 - 2\sqrt{18}$ を $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ の形にすることを考えます。

$ab = \sqrt{18}$ となるように、$a$ と $b$ を探します。

$a = 3, b = \sqrt{2}$ とすると、$2ab = 2\cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ となり、条件を満たします。

また、$a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$ となり、条件を満たします。

したがって、$11-6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ となります。

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = 3 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7} + 1$

(2) $3 - \sqrt{2}$